I file di input necessari per riprodurre l'elaborazione previsti dal §10.2 delle NTC sono contenuti nella cartella analisi_modale_vibrazioni_trave.zip.

La trave oggetto di questo esempio ha le seguenti caratteristiche geometriche:

  • L=4m
  • Sezione quadrata 30cm × 30cm

La trave è costituita da cls C20/25 con le seguenti caratteristiche:

  • E= 29,962·109 N/m2
  • ν = 0.2
  • ρ = 2500Kg/m3

Si può calcolare quindi:

  • Ix = 0,67500·10-3m4
  • μ = densità lineare = 225Kg/m
  • EI = 20,223·106Nm2

Per la soluzione numerica con Jasp si utilizza una mesh con 20 elementi di tipo beam con masse concentrate nei nodi. Per ogni nodi vengono consentite, esclusivamente, la rotazione attorno all’asse y e le traslazioni nel piano xz.

Trave appoggiata-appoggiata

Per la trave appoggiata-appoggiata i periodi propri di vibrazione si calcolano con la:

Le autofunzioni normalizzate sono rappresentate dalla seguente successione di funzioni sinusoidali:

Periodi propri ottenuti con Jasp (file trave-ca.jas).

Primi 5 modi di vibrare ottenuti con Jasp.

Confronto tra i periodi calcolati analiticamente e i valori ottenuti da Jasp

Modo

Tn con Jasp [s]

Errore
[%]

1

0,034302010

0.033148

3,364

2

0,008575503

0.0082869

3,365

3

0,003811334

0.0036832

3,362

4

0,002143876

0.002072

3,353

5

0,001372080

0.0013263

3,337


Mensola

Dalla teoria delle vibrazioni flessionali di travi sottili, i periodi dei modi naturali di vibrazione valgono [1]:

dove αn sono le soluzioni dell’equazione trascendente:

cos(αnL)cosh(αnL)+1=0

Periodi propri ottenuti con Jasp (file vibrazioni-mensola-ca.jas).

Primi 5 modi di vibrare ottenuti con Jasp.

Errori in percentuale sui periodi di vibrazione.

Modo

αnL

Tn Jasp
[s]

Errore
[%]

1

1.875104

0.09537127

0.093153

2.36

2

4.694091

0.01521827

0.014906

2.056

3

7.854757

0.00543504

0.0053373

1.80

4

10.99554

0.002773544

0.0027308

1.54

5

14.13717

0.001677813

0.0016564

1.27

Conclusioni

L’analisi dinamica condotta con Jasp risulta in linea con i risultati analitici.

[1]: Alberto Carpinteri, "Dinamica delle strutture", Pitagora Editrice Bologna 1998, par.2.3, pag.45